The mental growth of humanity, as revealed in scientific thinking, may be stated as a tendency to fuse seemingly different categories into a complex unity, into which previous concepts enter as component parts. The evolution of thought is a process of synthesizing concepts.
A work of art is primarily an idea expressed through the means of art — its material.
As soon as we have obtained these two terms ("idea" and "stimulus"), we can develop the rest of this complex concept by the method of series. "Idea" and "stimulus" are the two extreme terms of the series: (figure 1)
In other words, if our perceptive apparatus changes, we cannot apprehend a work of art in the same way any longer.
The fact that the science of musical sound (not the science of musical composition), during the 5000 years of its existence, did not explain the mechanism of musical composition is sufficient evidence that acoustics is not adequate to provide such an explanation.
A continuum is a system of unlimited parameters. In terms of measurement, parameters are the extensions. Any individual art form (music, sculpture, etc.) is a continuum, i.e., a system of parameters representing the art components. Thus, we can speak of different art forms as different continua.
The general categories of our mind, according to Kant, provide us with an orientation in space-time relations (general components) , while our organs of sensation enable us to discriminate our sensory perceptions (special components).
The first group requiring one organ of sensation at a time and one system of special parameters: (figure 2)
Considering the fact that our perception of the outer world is based on two categories of consciousness, space and time (corresponding to the four mathematical parameters, X1, X2, X3 , X4), we may classify all forms of art into two groups — static and kinetic.
Any system of special parameters (components of an individual art material) can be reduced to three parameters:
1. Frequency (or form)
2. Intensity (dimension or size)
3. Quality (texture or character)
Time, t — X4, is duration, an unavoidable condition underlying any real, conditioned, or imaginary existence. It is a psycho-physical category and a mathematical parameter.
A line moving on a plane (behavior of Xi with respect to Xj) provides all the forms of planimetric linear design, and also different forms of optical illusion: perspective (suggestion of X3) and the distortion of angles and dimensions.
Classifying combinations which are complex homogeneous art forms by the number of systems representing special parameters, we obtain: (figure 3)
Classifying combinations, which are complex heterogeneous art forms by the" number of organs of sensations required, we obtain: (figure 4)
Algebraically the correspondences between art forms may be expressed as follows: (figure 5)
where "u" is a unit in terms of frequencies (oscillations); (a/b) a ratio expressing the limits in terms of frequencies; exponent "n" — the number of units required in a scale. This formula has general meaning and may be applied to any parameter of art material.
Rhythm is the Law of Regularity in a factorial-fractional continuity. It is the resultant of the synchronized component periodicities, their progression, modification, and powers.
Once the method of synchronizing through common denominator or product has been established, all other cases of polynomial relations of various periodic series can be classified, and the resulting series deduced.
For practical application in art, any binomial or polynomial periodic series may be chosen from the rhythmic series resulting through interference.
For expressive, contrasting, dramatic effects it is more appropriate to use the unbalanced binomials. For calm, inexpressive, persistent, monotonous, or contemplative effects, it is more appropriate to use the balanced binomial or polynomial groups. Using both these types of groups, unbalanced and balanced, produces an effect of relaxation and the relief of tension.
European music of the 17th to 19th centuries operates mainly on binomials, 2 + 1 and 3 + 1, and a trinomial, 2 + 1 +1, with permutations. In its original idiom, Russian folk music employs 3 + 2 and 2 + 3, 2 + 3 + 2 and 3+2+3. Today's American jazz has a Charleston foundation, probably imported from the Caribbean, where it is most common in folk music (compare the dance songs of Puerto Rico). Its binomial is 5 + 3 and 3 + 5; its trinomial is further fractioning of the same binomial, 3+2+3, with permutations.
The sum of the terms of one rhythmic aeries equals the sum of the terms of another series.
Speeding up and slowing down time values, whether in long or in short portions of continuity, is inherent in any temporal or spatial-temporal art form. A comparative analysis of folk art provides a large variety of illustrations. In many a folk dance of Hungary and other countries, this variability of speed becomes one of the most substantial thematic components.
Displacement is the basic process for evolving simultaneity and sequence in composition. Using the same polynomial, P (4:3), we may evolve the following sequences of simultaneity through displacement. (figure 6)
The corresponding artistic expression for the sequence of simultaneity is counterpoint. The method of displacement provides an ultimate form of rhythmic counterpoint. Here is a typical example of rhythmic counterpoint in music: (figure 7)
Representing this in figures, we obtain the following: (figure 8)
Graphically this sequence may be represented as follows: (figure 9)
There are two ways of evolving the sequences of permutations. We shall call the first one — mechanical permutation, and the second — logical permutation. In the case of 2 elements the mechanical permutations and the logical permutations are identical: (figure 10)
In order to obtain mechanical permutations of 3 elements it is necessary to take each of the permutations of 2 elements, add the third element and displace it for each from left to right. (figure 11)
Logical permutations may be obtained from the first group abc by exchanging the positions of b and c; then starting a group with b and exchanging the positions of a and c; and, finally, starting a group with c and exchanging the positions of a and b. (figure 12)
The displacements abc, bca and cab are symmetrically located in both of the above groups. (figure 13)
A group (combination) of two or more elements may be regarded as an element of the succeeding higher order. Thus, permutations can be performed ad infinitum with any number of elements. This method is especially useful in evolving an extended continuity from a limited number of elements.
Mechanical scheme for permuting four elements: (figure 14)
Algebraic powers are the basis of factorial-fractional continuity. They build rhythm within a unit (a bar in music, an area in design) and organize the whole continuity rhythmically.
A structure is in a state of stable (stationary, static) equilibrium when the ratio of two major components equals one: (figure 15)
The density of such a structure becomes its potential, bearing the tendency of unstabilization. The density set of a ratio can be expressed as a fractional form of unity: (figure 16)
The greater the value of n, the denser the set. And the denser the set, the greater the stability of its potential.
An event may be considered crystallized when it reaches its optimum during the period of observation. Crystallization means that the organizational tendency has acquired its maximum of realization.
Rational behavior — behavior according to a ratio. Rational composition — composition based on a ratio. Rational thinking — thinking in terms of ratios. When the ratio is established, involution (power-differentiation) takes its course.
Music in any equal temperament, when it is recorded graphically in rectangular projection, expresses the equivalent of musical notation in equal temperament. Such a geometrical projection of music is expressed on a pane, and as such is subject to quadrant rotation of the plane through three-dimensional space. Rotation may be either clockwise or counterclockwise.
The logarithmic contraction of time corresponds to the logarithmic con- traction of space on the graph — and if our music were not bound to a common denominator system of measurement, it would be possible to apply such projection practically.
By revolving the second position of a musical graph through the abscissa (which becomes the axis of rotation) 180° in a clockwise direction, we obtain the third position of the original. The axis of rotation must represent a pt (pitch- time) maximum and the direction of the third position is backwards upside- down of the original, and forward upside-down of the second position. Further 180° clockwise rotation of the third position about its ordinate produces the fourth position, which is the backwards of the third position, the backwards upside-down of the second position and the forward upside-down of the original. (figure 17, 18)
Four geometrical inversions may be used individually as variations of a given melody. They may also be developed into a continuity in which the different positions are given different coefficients. Under such conditions the recurrence of the different positions is subject to rhythm.
method of geometrical inversion, when applied to the composition of melodic continuity, offers much greater versatility — yet preserves the unity more — than any composer in the past was able to achieve. For example, by comparing the music of J. S. Bach with the following illustrations, the full range of what he could have done by using the method of geometrical inversions becomes clear.
In «Invention No. 8», from his «Two-Part Inventions», during the first 8 bars of the leading voice (upper part after the theme ends), the first 2 bars fall into the triple repetition of an insignificant melodic pattern lasting one and one-half times longer than the entire theme. (figure 19)
In some cases geometrical inversions of music give new and often more interesting character to the original. When a composer feels dissatisfied with his theme, he may try out some of the inversions — and he may possibly find them more suitable for his purpose, discarding the original. Such was the case when George Gershwin wrote a theme for his opera Porgy and Bess, where inversion position was used instead of the original which was not as expressive and lacked the character of the later version.
An analysis of well-known works of the composers of the past often throws new light upon them, revealing hidden characteristics that become more apparent in the geometrical inversions.
It is possible to plan in advance the composition of melodic continuity through combining geometrical inversions of the original material with a rhythmic group pre-selected for the coefficients of recurrence of the different positions.
The actual technique of transcribing music from one position to another may be worked out in three different ways. The student may take his choice:
1. Direct transcription of the inverted positions from the graph into musical notation.
2. Direct transcription from a complete manifold of chromatic tables rep- resenting A and D positions for all the 12 axes.
3. Step by step (melodic) transcription from the original.
The unconscious urge toward geometrical inversions was actually realized in music of the past through those backward and contrary motions of the original pattern which may be found in abundance in the works of the contrapuntists of the 16th, 17th and 18th centuries. As they did not do it geometrically but tonally, they often misinterpreted the tonal structure of a theme appearing in an upside-down position.
Besides these thematic inversions of melodies, evidence of the tendency toward unconscious geometrical inversions may be observed in the juxtaposition of major and minor as the psychological poles. In reality, the commonly used harmonic minor is simply an erroneous geometrical inversion of the natural major scale. The correct position D of the natural major scale is the Phrygian scale and not the harmonic minor. The difference appears in the 2d and 7th degrees of that scale.
The effect of psychological contrasts, to which I have referred with regard to scales, takes place with chord structures and their progressions as well. The most obvious illustration is a major triad (c — e — g; 4 + 3) with its reciprocal structure minor triad (c — e♭ — g; 3 +4).
This method of inverting chords as well as scales in order to find the psychological reciprocal is particularly useful in cases where there is doubt as to what the reciprocal chord structure or progression may be. It also provides an exact way of finding the reciprocal structures and progressions in those cases in which the latter are entirely unknown — and the trial-and-error method does not bring any satisfactory result.
The technique of transcribing any harmonic continuity into different geo- metrical positions can be greatly simplified by using the method of enumeration of each voice of the harmony. Each voice becomes a melody, and it is only necessary to know the entire chord (i.e., the starting-points of such melodies) for the starting-point, after which all voices may be transcribed horizontally (as melodies).
The above-mentioned operations make it clear that any of the variations in the original distribution of voices of a chord may serve as a starting point for any harmonic continuity. Thus, a 4-part harmony offers 24 versions in each of the four geometrical positions. This device is superior to the ingenuity of any composer using an intuitive method in order to achieve variety of instrumental forms of the same harmonic continuity.
The following chart represents 24 original forms of distribution of the starting chord (according to the 24 permutations of 4 elements), for the harmonic continuity. When the starting chord has the same structure but different distribution, the resulting sonority of each version also becomes different. (figure 20)
On an ordinary graph, the unit of measurement is equivalent to 1/12 of an inch, and it represents, in this system of notation, the standard pitch unit, i.e., 2^(1/12) (a semitone). Such units are expressible in arithmetical integers as logarithms to the base of 2^(1/12). Thus, a semitone consists of one unit, a whole tone of two units, etc., along the ordinate.
To translate a musical graph into 2^(1/6) we would simply use double units on the ordinate for the original single units, while preserving all the other relations within" a given melodic continuity.
Form of projection is known as an optical projection through extension of the ordinate. It is one of the natural tendencies in visual arts. When artists attempt to produce a distortion (variation) of the original proportions, they are unconsciously attempting to achieve one or another form of geometrical projection.
Variations, when executed geometrically and in accordance with optics, give a greater amount of esthetic satisfaction because they are more natural.
In the illustration, the same configuration is presented under different coordinate ratios. The technique of such translation consists of producing a network on the original drawing (with as many units as is desirable with regard to precision) and then transcribing this network into a differently proportioned area, preserving the same number of lines on both coordinates of the network. Then all points of the drawing acquire their respective positions in the corresponding places of the network. (figure 21)
As each coefficient of expansion is applied to music, the original is translated into a different style, a style often separated by centuries. It is sufficient to translate music written in the 18th century by the coefficient 2 in order to obtain music of greater consistency than an original of the early 20th century style.
The coefficient 3 is characteristic of any music based on 2^(1/4) (i.e., the "diminished 7th" chord). Any high-quality piece of music of the past exhibits, under such projection, a greater versatility than any of the known samples that would stylistically correspond to it in the past. For the sake of comparing the intuitive patterns with the corresponding forms of geometrical projection, it is advisable to analyze such works as J. S. Bach's Chromatic Fantasy and Fugue, Liszt's B Minor Sonata, L. van Beethoven's Moonlight Sonata, first movement.
The coefficient 4, being a multiple of 2, gives too many recurrences of the same pitch-units since it is actually confined to but 3 units in an octave. Naturally, such music is thereby deprived of flexibility.
But the 5p expansion is characteristic of the modern school which utilizes the interval of the 4th — such as Hindemith, Berg, Krenek, etc. Music corresponding to further expansions, such as 7p, has some resemblance to the music written by Anton von Webern. Drawing comparisons between the music of Chopin and Hindemith, under the same coefficient of expansion, i.e., either by expanding Chopin into the coefficient 5, or by contracting Hindemith into the coefficient 1, we find that the versatility of Chopin is much greater than that of Hindemith.
Comparative study of music under various coefficients of expansion reveals that often we are more impressed by the raw material of intonation than by the actual quality of the composition.
The natural pitch-scale, i.e., the series of harmonics, does not produce uni- form ratios but gives a natural logarithmic contraction. The intervals between the pitch-units decrease, while the absolute frequencies increase. This phe- nomenon is analogous to the perspective contraction in space as we see it.
The technique of pitch -expansion may be executed directly from a graph or from a corresponding chromatic scale of expansion. In such a case, 2p will produce a whole tone scale progressing through 2 octaves instead of a full chromatic scale progressing through one octave (when p = 1.) While expansion of time extends the graph along the abscissa, the increase of the absolute time unit is not noticeable unless compared with the original.
Pitch expansion works under the same conditions. It is only through comparison that we can learn that a certain musical continuity has been expanded or contracted from its original. This is apparent in the process of tonal expansion (which preserves all the pitch-units while the range increases). (figure 22, 23)
It might seem at first that the ordinary enlargement or reduction of an original image — such as that effected by any natural optical projection (lantern slide projector, motion picture projector, magnifying glass, etc.) — does not change the appearance of the image. Yet when carried to an extreme, h does in fact transform the image to a great extent. For example, an ordinary close-up of a human head seen on the screen does not change our impression of the image. But when a human head is subjected to a several hundred power magnification, the original image is changed beyond recognition. A photograph of the skin surface of the human arm occupying only l/100th of a square inch produces an image which is not easily associated with the human arm.
The difference in the actual sound of music (like the magnification of Haydn into von Webern) is only quantitatively different from the enlarging of visual images. Even with coefficients as low as 5, a melody is transformed beyond recognition. But the magnification of visual images requires at least one-hundred power magnification in order to achieve a similar effect.
Geometrical expansions of melody may also serve the purpose of modifying motifs through the method of geometrical projection. The original melodic pattern becomes entirely modified — yet the system of pitch-units is the outcome of a consistent translation from one system of pitch relations to another.
The behavior of sounding texture in any musical composition is such that it fluctuates between stability and instability, and so remains perpetually in a state of unstable equilibrium. The latter is characteristic of albumen which is chemically basic to all organic forms of nature. For this reason, unstable equilibrium is a manifestation of life itself, and, being applied to the field of musical composition as a formal principle, contributes the quality of life to music.
Sources:
Joseph Schillinger - The Mathematical Basis of the Arts, 1943, "Philosophical Library", New York
Link: http://wix.to/2QINwei
Интеллектуальное развитие человечества, обнаруживаемое в научном мышлении, можно констатировать как тенденцию сплавлять, казалось бы, различные категории в сложное единство, в которое в качестве составных частей входят прежние понятия. Эволюция мысли есть процесс синтеза понятий.
Художественное произведение — это прежде всего идея, выраженная средствами искусства — его материалом
Как только мы получили эти два термина («идея» и «стимул»), мы можем развить и остальные сложные понятия методом рядов. «Идея» и «стимул» — два крайних термина ряда: (рис. 1)
Другими словами, если наш аппарат восприятия изменится, мы уже не сможем воспринимать произведение искусства прежним образом.
Тот факт, что наука о музыкальном звуке (не наука о написании музыки) за 5000 лет своего существования не объяснила механизм музыкального сочинения, является достаточным доказательством того, что акустика не способна дать такого объяснения
Континуум – это система неограниченных параметров. С точки зрения измерения параметры являются расширениями. Любая отдельная форма искусства (музыка, скульптура и т. д.) представляет собой континуум, т. е. систему параметров, представляющих компоненты искусства. Таким образом, мы можем говорить о разных формах искусства как о разных континуумах.
Общие категории нашего ума, по Канту, дают нам ориентировку в пространственно-временных отношениях (общие компоненты), а наши органы чувств позволяют различать наши чувственные восприятия (частные компоненты).
Первая группа, требующая одновременно одного органа чувств и одной системы специальных параметров: (рис. 2)
Учитывая тот факт, что наше восприятие внешнего мира основано на двух категориях сознания, пространстве и времени (соответствующих четырем математическим параметрам X1 , X2 , X3 , X4 ), мы можем классифицировать все виды искусства на две группы — статические и кинетические.
Любая система специальных параметров (составляющих отдельного художественного материала) может быть сведена к трем параметрам:
1. Частота (или форма)
2. Интенсивность (размерность или размер)
3. Качество (текстура или характер)
Время, t — X4, есть продолжительность, неизбежное условие, лежащее в основе любого реального, обусловленного или воображаемого существования. Это психофизическая категория и математический параметр.
Линия, движущаяся по плоскости (поведение Xi по отношению к Xj ), обеспечивает все формы планиметрического линейного рисунка, а также различные формы зрительной иллюзии: перспективу (внушение X3 ) и искажение углов и размеров.
Классифицируя комбинации, являющиеся сложными однородными видами искусства, по количеству систем, представляющих особые параметры, получаем: (рис. 3)
Классифицируя комбинации, представляющие собой сложные разнородные формы искусства, по количеству необходимых органов чувств, получаем: (рис. 4)
Алгебраические соответствия между формами искусства могут быть выражены следующим образом: (рис. 5)
где "u" - единица измерения частоты (колебаний); (a/b) отношение, выражающее пределы частот; exponent "n" — необходимое количество единиц шкалы. Эта формула имеет общий смысл и может быть применена к любому параметру художественного материала.
Ритм есть закон регулярности в факторно-дробной непрерывности. Это результат периодичности синхронизированных компонентов, их прогрессии, модификации и мощности.
Как только установлен метод синхронизации через общий знаменатель или произведение, все другие случаи полиномиальных соотношений различных периодических рядов могут быть классифицированы и полученный ряд может быть выведен.
Для практического применения в искусстве любой биномиальный или полиномиальный периодический ряд может быть выбран из ритмического ряда, полученного в результате интерференции.
Для выразительных, контрастных, драматических эффектов целесообразнее использовать несбалансированные двучлены. Для спокойных, невыразительных, стойких, монотонных или созерцательных эффектов более уместно использовать сбалансированные биномиальные или полиномиальные группы. Использование обоих этих типов групп, неуравновешенных и уравновешенных, дает эффект расслабления и снятия напряжения.
Европейская музыка 17-19 веков оперирует в основном двучленами 2+1 и 3+1 и трехчленом 2+1+1 с перестановками. В своей первоначальной идиоматике русская народная музыка использует 3 + 2 и 2 + 3, 2 + 3 + 2 и 3 + 2 + 3. Сегодняшний американский джаз имеет чарльстонскую основу, вероятно, заимствованную из Карибского бассейна, где он наиболее распространен в народной музыке (ср. танцевальные песни Пуэрто-Рико). Его биномиал равен 5 + 3 и 3 + 5; его трехчлен является дальнейшим дроблением того же двучлена 3 + 2 + 3 с перестановками.
Сумма членов одного ритмического ряда равна сумме членов другого ряда.
Ускорение и замедление значений времени, будь то на длинных или на коротких участках непрерывности, присуще любой временной или пространственно-временной форме искусства. Сравнительный анализ народного творчества дает большое разнообразие иллюстраций. Во многих народных танцах Венгрии и других стран эта вариативность темпа становится одним из наиболее существенных тематических компонентов.
Смещение — основной процесс развития одновременности и последовательности в композиции. Используя тот же многочлен P (4:3), мы можем развить следующие последовательности одновременности через смещение. (рис. 6)
Соответствующим художественным выражением последовательности одновременности является контрапункт. Метод смещения обеспечивает окончательную форму ритмического контрапункта. Вот типичный пример ритмического контрапункта в музыке: (рис. 7)
Представляя это в цифрах, получаем следующее: (рис. 8)
Графически эту последовательность можно представить следующим образом: (рис. 9)
Есть два пути развития последовательностей перестановок. Первую назовем — механической перестановкой, а вторую — логической перестановкой. В случае двух элементов механические перестановки и логические перестановки идентичны: (рис. 10)
Для того, чтобы получить механические перестановки 3-х элементов необходимо взять каждую из перестановок 2-х элементов, добавить третий элемент и сместить его для каждой слева направо. (рис. 11)
Логические перестановки можно получить из первой группы abc , поменяв местами элементы b и c; затем начинаем группу с b и меняем местами a и c; и, наконец, начиная группу с c и меняя местами элементы a и b. (рис. 12)
Перемещения abc , bca и cab расположены симметрично в обеих вышеуказанных группах. ( рис. 13)
Группа (сочетание) двух или более элементов может рассматриваться как элемент последующего более высокого порядка. Таким образом, перестановки можно выполнять до бесконечности с любым количеством элементов. Этот метод особенно полезен при построении расширенной непрерывности из ограниченного числа элементов.
Механическая схема перестановки четырех элементов: (рис. 14)
Алгебраические степени лежат в основе факторно-дробной непрерывности. Они выстраивают ритм внутри единицы (такт в музыке, область в дизайне) и ритмически организуют всю непрерывность.
Конструкция находится в состоянии устойчивого (стационарного, статического) равновесия, когда отношение двух главных компонентов равно единице: (рис. 15)
Плотность такой структуры становится ее потенциалом, несущим тенденцию к неустойчивости . Набор плотностей отношения может быть выражен как дробная форма единицы: (рис. 16)
Чем больше значение n, тем плотнее набор. И чем плотнее набор, тем больше устойчивость его потенциала.
Событие можно считать кристаллизованным, когда оно достигает своего оптимума в течение периода наблюдения. Кристаллизация означает, что организационная тенденция обрела максимальную реализацию.
Рациональное поведение — поведение согласно соотношению. Рациональная композиция — композиция, основанная на соотношении. Рациональное мышление — мышление в терминах соотношений. Когда соотношение устанавливается, инволюция (степень-дифференциация) идет своим чередом.
Музыка в любом равнотемперированном виде, когда она записана графически в прямоугольной проекции, выражает эквивалент нотной записи в равной темперации. Такая геометрическая проекция музыки выражена на панели и как таковая подвержена квадрантному вращению плоскости в трехмерном пространстве. Вращение может быть как по часовой, так и против часовой стрелки.
Логарифмическому сжатию времени соответствует логарифмическое сжатие пространства на графике — и если бы наша музыка не была привязана к единой знаменательной системе измерения, то можно было бы применить такую проекцию практически.
Повернув вторую позицию музыкального графика через абсциссу (которая становится осью вращения) на 180° по часовой стрелке, мы получим третью позицию оригинала. Ось вращения должна представлять собой максимум времени шага (англ. pitch-time или pt), а направление третьего положения — назад вверх ногами относительно исходного положения и вперед вверх ногами во втором положении. Дальнейшее вращение третьего положения на 180° по часовой стрелке вокруг его ординаты дает четвертое положение, которое является обратным по отношению к третьему положению, перевернутым назад от второго положения и перевернутым вперед от оригинала. ( рис. 17, 18)
Четыре геометрические инверсии могут использоваться по отдельности как вариации данной мелодии. Их также можно развить в непрерывность, в которой разным позициям присваиваются разные коэффициенты. В таких условиях повторение различных позиций подчинено ритму.
Метод геометрической инверсии, примененный к композиции мелодической непрерывности, предлагает гораздо большую универсальность — но в большей степени сохраняет единство — чего любой композитор в прошлом был в состоянии достичь. Например, при сравнении музыки И. С. Баха со следующими иллюстрациями становится ясным весь спектр того, что он мог бы сделать, используя метод геометрических инверсий.
В «Инвенции № 8» из его «Двухчастных инвенций» в течение первых 8 тактов ведущего голоса (верхняя часть после окончания темы) первые 2 такта попадают в троекратное повторение незначительного мелодического рисунка продолжительностью в полтора раза длиннее всей темы. (рис. 19)
В некоторых случаях геометрические обращения музыки придают оригиналу новый, часто более интересный характер. Когда композитор чувствует себя неудовлетворенным своей темой, он может попробовать некоторые из инверсий — и, возможно, найдет их более подходящими для своей цели, отбросив оригинал. Так было, когда Джордж Гершвин написал тему для своей оперы «Порги и Бесс», где вместо оригинала использовалась инверсионная позиция, которая была менее выразительна и лишена характера более поздней версии.
Анализ известных произведений композиторов прошлого часто проливает на них новый свет, раскрывая скрытые черты, которые становятся более явными в геометрических инверсиях.
Можно заранее спланировать композицию мелодической непрерывности путем сочетания геометрических инверсий исходного материала с заранее подобранной ритмической группой по коэффициентам повторяемости различных позиций.
Действительная техника транскрипции музыки из одной позиции в другую может быть разработана тремя различными способами. Ученик может сделать свой выбор:
1. Прямая транскрипция инвертированных позиций из графика в нотную запись.
2. Прямая транскрипция из полного множества хроматических таблиц, представляющих позиции A и D для всех 12 осей.
3. Пошаговая (мелодическая) транскрипция с оригинала.
Бессознательное стремление к геометрическим инверсиям на самом деле реализовывалось в музыке прошлого посредством тех обратных и противоположных движений исходного рисунка, которые в изобилии можно найти в произведениях контрапунктистов 16, 17 и 18 веков. Поскольку они делали это не геометрически, а тонально, они часто неправильно истолковывали тональную структуру темы, появляющейся в перевернутом положении.
Помимо этих тематических инверсий мелодий, признаки тенденции к бессознательным геометрическим инверсиям можно наблюдать в противопоставлении мажора и минора как психологических полюсов. На самом деле обычно используемый гармонический минор — это просто ошибочная геометрическая инверсия естественной мажорной гаммы. Правильная позиция D естественной мажорной гаммы — это фригийская гамма, а не гармонический минор. Разница проявляется во 2-й и 7-й ступенях этой шкалы.
Эффект психологических контрастов, о котором я говорил в отношении гамм, имеет место и в аккордовых структурах и их прогрессиях. Наиболее очевидная иллюстрация — мажорное трезвучие (с — е — g; 4 + 3) с его реципрокной структурой минорное трезвучие (с — е♭ — g; 3 + 4).
Этот метод инвертирования аккордов, а также гамм для нахождения психологического реципрока особенно полезен в случаях, когда есть сомнения относительно того, какой может быть реципрокная структура или последовательность аккордов. Он также дает точный способ нахождения реципрокных структур и прогрессий в тех случаях, когда последние совершенно неизвестны — и метод проб и ошибок не дает удовлетворительного результата.
Технику транскрипции любой гармонической непрерывности в различные геометрические положения можно значительно упростить, если использовать метод нумерации каждого голоса гармонии. Каждый голос становится мелодией , и для начала необходимо знать только весь аккорд (т. е. начала таких мелодий), после чего все голоса могут быть записаны по горизонтали (как мелодии).
Вышеупомянутые операции показывают, что любая из вариаций исходного распределения голосов аккорда может служить отправной точкой для любой гармонической непрерывности. Таким образом, гармония из 4 частей предлагает 24 версии в каждой из четырех геометрических позиций. Этот прием превосходит изобретательность любого композитора, использующего интуитивный метод для достижения разнообразия инструментальных форм одной и той же гармонической непрерывности.
Следующая диаграмма представляет 24 исходные формы распределения начального аккорда (в соответствии с 24 перестановками 4 элементов) для гармонической непрерывности. Когда начальный аккорд имеет ту же структуру, но другое распределение, в результате звучность каждой версии также становится разной. (рис. 20)
На обычном графике единица измерения эквивалентна 1/12 дюйма и представляет собой в этой системе обозначений стандартную единицу высоты тона, т. е. 2^(1/12) (полутона). Такие единицы выражаются целыми арифметическими числами в виде логарифмов по основанию 2^( 1/12). Так, полутон состоит из одной единицы, целый тон из двух единиц и т. д. по ординате.
Чтобы перевести музыкальный график в 2^( 1/6), мы просто использовали бы двойные единицы по ординате для исходных одиночных единиц, сохраняя при этом все остальные отношения в рамках заданной непрерывности мелодии.
Форма проекции известна как оптическая проекция через продолжение ординаты. Это одна из естественных тенденций в изобразительном искусстве. Когда художники пытаются произвести искажение (вариацию) исходных пропорций, они бессознательно пытаются добиться той или иной формы геометрической проекции.
Вариации, выполненные геометрически и в соответствии с оптикой, дают большее эстетическое удовлетворение, потому что они более естественны.
На рисунке одна и та же конфигурация представлена при разных соотношениях координат. Техника такого перевода состоит в создании сети на исходном чертеже (с таким количеством единиц, которое желательно с точки зрения точности), а затем расшифровке этой сети в области с другими пропорциями, сохраняя одинаковое количество линий по обеим координатам сети. . Тогда все точки чертежа занимают свои позиции в соответствующих местах сети. (рис. 21)
Поскольку каждый коэффициент расширения применяется к музыке, оригинал переводится в другой стиль, стиль, часто разделенный столетиями. Достаточно перевести музыку, написанную в 18 веке, на коэффициент 2 , чтобы получить музыку большей консистенции, чем оригинал стиля начала 20 века.
Коэффициент 3 характерен для любой музыки, основанной на 2^(1/4) (т. е. на «уменьшенном септаккорде»). Любое качественное музыкальное произведение прошлого проявляет при такой проекции большую многогранность, чем любой из известных образцов, стилистически соответствующих ему в прошлом. Для сопоставления интуитивных закономерностей с соответствующими формами геометрической проекции целесообразно проанализировать такие произведения, как «Хроматическая фантазия и фуга» И. С. Баха, Соната си минор Листа, «Лунная соната» Л. ван Бетховена, первая часть.
Коэффициент 4, будучи кратным 2, дает слишком много повторений одних и тех же единиц высоты тона, поскольку он фактически ограничивается лишь 3 единицами в октаве. Естественно, такая музыка тем самым лишается гибкости.
Но расширение 5p характерно для современной школы, использующей интервал 4-й, таких как Хиндемит, Берг, Кренек и т. д . Музыка, соответствующая дальнейшим расширениям, таким как 7p, имеет некоторое сходство с музыкой, написанной Антоном фон Веберн. Сравнивая музыку Шопена и Хиндемита при одном и том же коэффициенте расширения, т. е. либо расширяя Шопена до коэффициента 5, либо сжимая Хиндемита до коэффициента 1, мы находим, что многогранность Шопена гораздо больше, чем у Шопена. Хиндемит.
Сравнительное изучение музыки при различных коэффициентах расширения показывает, что часто нас больше впечатляет сырой интонационный материал, чем фактическое качество композиции.
Естественная шкала высоты тона, т. е. ряд гармоник, не дает однородных соотношений, а дает естественное логарифмическое сокращение. Интервалы между единицами основного тона уменьшаются, а абсолютные частоты увеличиваются. Это явление аналогично сужению перспективы в пространстве, как мы его видим.
Технику высотно-расширения можно выполнять непосредственно из графика или из соответствующей хроматической гаммы расширения. В таком случае 2p будет давать целую шкалу тонов, проходящую через 2 октавы, вместо полной хроматической гаммы, проходящей через одну октаву (когда p = 1). единица не заметна, если только не сравнивать с оригиналом.
Расширение высоты тона работает в тех же условиях. Только путем сравнения мы можем узнать, что определенная музыкальная непрерывность была расширена или сжата по сравнению с ее оригиналом. Это проявляется в процессе тонального расширения (которое сохраняет все единицы высоты тона при увеличении диапазона). (рис. 22, 23)
На первый взгляд может показаться, что обычное увеличение или уменьшение исходного изображения — например, производимое любой естественной оптической проекцией (фонарный диапроектор, кинопроектор, увеличительное стекло и т. д.) — не изменяет внешний вид. изображения. Тем не менее, доведенный до крайности, действительно в значительной степени трансформирует изображение. Например, обычный крупный план головы человека, увиденный на экране, не меняет нашего впечатления от изображения. Но когда человеческая голова подвергается увеличению в несколько сотен раз, исходное изображение меняется до неузнаваемости. Фотография поверхности кожи руки человека, занимающая всего 1/100 квадратного дюйма, дает изображение, которое нелегко ассоциировать с рукой человека.
Разница в реальном звучании музыки (как увеличение Гайдна в фон Веберна) лишь количественно отличается от увеличения зрительных образов. Даже при таких низких коэффициентах, как 5, мелодия преображается до неузнаваемости. Но увеличение зрительных образов требует увеличения не менее чем в сто степеней , чтобы добиться подобного эффекта.
Геометрические расширения мелодии могут также служить цели видоизменения мотивов методом геометрической проекции. Первоначальный мелодический паттерн полностью видоизменяется, но система звуковысотных единиц является результатом последовательного перевода одной системы звуковысотных отношений в другую.
Поведение звучащей ткани в любом музыкальном произведении таково, что она колеблется между стабильностью и неустойчивостью и, таким образом, постоянно остается в состоянии неустойчивого равновесия. Последнее характерно для белка, химически основного для всех органических форм природы. По этой причине неустойчивое равновесие является проявлением самой жизни и, применяясь в области музыкальной композиции в качестве формального принципа, придает музыке качество жизни.
Источники:
Иосиф Шиллингер - Математическая основа искусства, 1943 год, "Philosophical Library", Нью Йорк
Ссылка: http://wix.to/2QINwei